Inégalité de Bessel

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel.

Énoncé pour une famille finie

Dans tout l'article E désigne un espace préhilbertien sur le corps des réels ou celui des complexes. Le produit scalaire est noté < , > et la norme associée : || ||. La valeur absolue ou le module d'un scalaire λ est noté |λ|. Une famille de vecteurs est dite orthonormale si ses vecteurs sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.

Généralisation à une famille quelconque

Le résultat précédent s'étend au cas où la famille (e_i) est indexée par un ensemble I quelconque (ni fini, ni nécessairement dénombrable) :

Si la famille (e_i) est simplement orthogonale et formée de vecteurs non nuls, l'inégalité de Bessel s'écrit :

${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|{\frac {\langle x,e_{i}\rangle }{\|e_{i}\|}}\right|^{2}\leq \|x\|^{2}.}$

Si E est un espace de Hilbert, et si la famille est une base de Hilbert, alors la majoration est une égalité dénommée égalité de Parseval.

Voir aussi

Article connexe

Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert

Liens externes

• Inégalité de Bessel sur le site bibmath.net
• Analyse de Hilbert par Frédéric Laroche dans Promenades mathématiques, 2005

Bibliographie

• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
• Serge Lang, Analyse réelle, InterEditions, 1977 (ISBN 978-2-72960059-4)
• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

• Portail des mathématiques